Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики
• Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
• Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
• Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
• Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
• Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
• Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
• Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
• Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
• Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
  Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
• Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
• Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
• Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
  Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
  Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
• Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
• Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
• Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
• Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
• Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
• Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
• Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
• Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
  Принятое обозначение: .
• Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
• Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
  .
• Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
  .
• Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
• Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
  Принятое обозначение: .
  Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
• Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
  Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
• Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
• Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
  Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
• Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
  Эти две силы называются уравновешивающимися.
  Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
• Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
  Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
  Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
• Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
  диагонали.
  По модулю равнодействующая равна:
  
• Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
  Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
• Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
  Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
• Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции
• Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
• Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
• Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
• Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
• Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики
• Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
• Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
• Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
• Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки
• Траектория точки
  В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
  В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
  В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
• Определение скорости точки в векторной системе координат
  При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
  Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
  Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
  Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
  Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
• Определение скорости точки в координатной системе отсчета
  Скорости изменения координат точки:
  .
  Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
  .
  Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
  ,
  где — углы между вектором скорости и осями координат.
• Определение скорости точки в естественной системе отсчета
  Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
  Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела
• В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
  1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
  2) определение кинематических характеристик точек тела.
• Поступательное движение твердого тела
  Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
  Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
  Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
• Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
  Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
  Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
  Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
  Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
  — угловая скорость, рад/с;
  — угловое ускорение, рад/с².
  Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
  Модуль линейной скорости:
  .
  Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
  ,
  где .
  В итоге, получаем формулы
  тангенциальное ускорение: ;
  нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики
• Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
• Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
• Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
• Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:
  
  где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
  В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
• Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
  Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
  .
  Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
  
• Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
• Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
  где — ускорение центра масс тела.
• Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
  .
  Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
  .
• Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои

И Савельева .

При поступательном движении тела (§ 60 в учебнике Е. М. Никитина) все его точки движутся по одинаковым траекториям и в каждый данный момент они имеют равные скорости и равные ускорения.

Поэтому поступательное движение тела задают движением какой-либо одной точки, обычно движением центра тяжести.

Рассматривая в какой-либо задаче движение автомобиля (задача 147) или тепловоза (задача 141), фактически рассматриваем движение их центров тяжести.

Вращательное движение тела (Е. М. Никитин , § 61) нельзя отождествить с движением какой-либо одной его точки. Ось любого вращающегося тела (маховика дизеля, ротора электродвигателя, шпинделя станка, лопастей вентилятора и т. п.) в процессе движения занимает в пространстве относительно окружающих неподвижных тел одно и то же место.

Движение материальной точки или поступательное движение тела характеризуют в зависимости от времени линейные величины s (путь, расстояние), v (скорость) и а (ускорение) с его составляющими a t и a n .

Вращательное движение тела в зависимости от времени t характеризуют угловые величины : φ (угол поворота в радианах), ω (угловая скорость в рад/сек) и ε (угловое ускорение в рад/сек 2).

Закон вращательного движения тела выражается уравнением
φ = f (t).

Угловая скорость - величина, характеризующая быстроту вращения тела, определяется в общем случае как производная угла поворота по времени
ω = dφ/dt = f" (t).

Угловое ускорение - величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, определяется как производная угловой скорости
ε = dω/dt = f"" (t).

Приступая к решению задач на вращательное движение тела, необходимо иметь в виду, что в технических расчетах и задачах, как правило, угловое перемещение выражается не в радианах φ, а в оборотах φ об.

Поэтому необходимо уметь переходить от числа оборотов к радианному измерению углового перемещения и наоборот.

Так как один полный оборот соответствует 2π рад, то
φ = 2πφ об и φ об = φ/(2π).

Угловая скорость в технических расчетах очень часто измеряется в оборотах, произведенных в одну минуту (об/мин), поэтому необходимо отчетливо уяснить, что ω рад/сек и n об/мин выражают одно и то же понятие - скорость вращения тела (угловую скорость), но в различных единицах - в рад/сек или в об/мин.

Переход от одних единиц угловой скорости к другим производится по формулам
ω = πn/30 и n = 30ω/π.

При вращательном движении тела все его точки движутся по окружностям, центры которых расположены на одной неподвижной прямой (ось вращающегося тела). Очень важно при решении задач, приведенных в этой главе, ясно представлять зависимость между угловыми величинами φ, ω и ε, характеризующими вращательное движение тела, и линейными величинами s, v, a t и a n , характеризующими движение различных точек этого тела (рис 205).

Если R - расстояние от геометрической оси вращающегося тела до какой-либо точки А (на рис. 205 R=OA), то зависимость между φ - углом поворота тела и s - расстоянием, пройденным точкой тела за то же время, выражается так:
s = φR.

Зависимость между угловой скоростью тела и скоростью точки в каждый данный момент выражается равенством
v = ωR.

Касательное ускорение точки зависит от углового ускорения и определяется формулой
a t = εR.

Нормальное ускорение точки зависит от угловой скорости тела и определяется зависимостью
a n = ω 2 R.

При решении задачи, приведенной в этой главе, необходимо ясно понимать, что вращением называется движение твердого тела, а не точки. Отдельно взятая материальная точка не вращается, а движется по окружности - совершает криволинейное движение.

§ 33. Равномерное вращательное движение

Если угловая скорость ω=const, то вращательное движение называется равномерным.

Уравнение равномерного вращения имеет вид
φ = φ 0 + ωt.

В частном случае, когда начальный угол поворота φ 0 =0,
φ = ωt.

Угловую скорость равномерно вращающегося тела
ω = φ/t
можно выразить и так:
ω = 2π/T,
где T - период вращения тела; φ=2π - угол поворота за один период.

§ 34. Равнопеременное вращательное движение

Вращательное движение с переменной угловой скоростью называется неравномерным (см. ниже § 35). Если же угловое ускорение ε=const, то вращательное движение называется равнопеременным . Таким образом, равнопеременное вращение тела - частный случай неравномерного вращательного движения.

Уравнение равнопеременного вращения
(1) φ = φ 0 + ω 0 t + εt 2 /2
и уравнение, выражающее угловую скорость тела в любой момент времени,
(2) ω = ω 0 + εt
представляют совокупность основных формул вращательного равнопеременного движения тела.

В эти формулы входят всего шесть величин: три постоянных для данной задачи φ 0 , ω 0 и ε и три переменных φ, ω и t. Следовательно, в условии каждой задачи на равнопеременное вращение должно содержаться не менее четырех заданных величин.

Для удобства решения некоторых задач из уравнений (1) и (2) можно получить еще две вспомогательные формулы.

Исключим из (1) и (2) угловое ускорение ε:
(3) φ = φ 0 + (ω + ω 0)t/2.

Исключим из (1) и (2) время t:
(4) φ = φ 0 + (ω 2 - ω 0 2)/(2ε).

В частном случае равноускоренного вращения, начавшегося из состояния покоя, φ 0 =0 и ω 0 =0. Поэтому приведенные выше основные и вспомогательные формулы принимают такой вид:
(5) φ = εt 2 /2;
(6) ω = εt;
(7) φ = ωt/2;
(8) φ = ω 2 /(2ε).

§ 35. Неравномерное вращательное движение

Рассмотрим пример решения задачи, в которой задано неравномерное вращательное движение тела.

Министерство образования и науки Российской Федерации Нижегородский государственный архитектурно-строительный университет

Институт открытого дистанционного обучения

Аистов А.С., Баранова А.С., Трянина Н.Ю.

Теоретическая механика

Часть II. Кинематика и динамика твердого тела

Утверждено редакционно-издательским советом университета

в качестве учебного пособия

Нижний Новгород – 2004

ББК 22.21 Т 11

Аистов А.С., Баранова А.С., Трянина Н.Ю. Теоретическая механика. Часть II. Кинематика и динамика твердого тела. Учебное пособие.– Н.Новгород: Нижегорд. гос. архит.-строит. ун-т., 2004.– 69 с.

ISBN 5-87941-303-9

Учебное пособие содержит основные сведения и теоретические положения кинематики и динамики твердого тела. Включает задания для контрольных работ по кинематике и динамике, краткие сведения из теории, рекомендации по решению задач, примеры решения типичных задач.

ISBN 5-87941-303-9

РАЗДЕЛ 1. КИНЕМАТИКА

Введение

Кинематика – это раздел теоретической механики, в котором изучается механическое движение, т.е. изменение положения одного тела относительно другого тела, с которым связана система отсчета, которая может быть как движущейся, так и неподвижной, без учета действующих сил.

Относясь к разделу фундаментальных наук, теоретическая механика и кинематика как важная составная часть ее, является основой для изучения многих дисциплин, изучающихся в высшей технической школе.

Законы и методы теоретической механики находят широкое применение в изучении важнейших задач техники, таких как конструирование различных сооружений, машин и механизмов, изучение движения космических тел, решение задач аэродинамики, баллистики и других.

Теоретическая механика, основанная на трудах Аристотеля, Архимеда, Галилея, Ньютона, носит название классической механики, в ней рассматривается движение тел со скоростями, много меньшими скорости света.

Механическое движение происходит во времени в пространстве, при этом в классической механике пространство считается трехмерным, подчиняющимся евклидовой геометрии; время считается протекающим непрерывно и одинаково во всех системах отсчета.

1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КИНЕМАТИКИ

Все кинематические величины, характеризующие движение тела или его отдельной точки (расстояние, скорости, ускорения и т.д.) рассматриваются как функции времени.

Решить задачу кинематики значит найти траекторию, положение, скорость и ускорение каждой точки тела.

Траектория точки – это геометрическое место последовательных положений, занимаемых точкой в пространстве при ее перемещении.

Скорость точки – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения положения точки в пространстве.

Ускорение точки – это векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости.

2. ПРОСТЕЙШИЕ ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА

2.1. Поступательное движение твердого тела

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором отрезок соединяющий две любые точки тела перемещаются параллельно самому себе.

При поступательном движении твердого тела скорости и ускорения всех точек тела геометрически равны и траектории всех точек идентичны, т.е. при наложении совпадают, поэтому достаточно точно знать характеристики движения одной точки тела.

2.2. Вращательное движение твердого тела

2.2.1. Угловая скорость и угловое ускорение

Вращательным называется движение твердого тела, при котором остаются неподвижными хотя бы две точки тела. Прямая, проходящая через эти точки, называется осью вращения . Все точки тела, лежащие на оси, при вращении остаются неподвижными. Все остальные точки тела движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, и описывают окружности, центры которых лежат на оси, а радиусы равны расстояниям от точек до оси (рис.1). Точки А и В удерживаются неподвижными с помощью подпятника и подшипника соответственно.

Выберем положительное направление оси z и проведем через нее неподвижную плоскость I, вторую плоскость II также проведем через ось и свяжем ее с телом. При вращении плоскость II будет образовывать угол с плоскостью I. Линейный угол ϕ этого движущегося угла называется углом поворота. Если функция ϕ = f (t) известна, то вращательное движение считается заданным. Величина, характеризующая быстроту изменения угла поворота, называется угловой скоростью . Угловая скорость ω определяется как производная по времени от угла поворота

ω= d dt ϕ =ϕ& (рад/сек) или (с-1 )

Величина, характеризующая быстроту изменения угловой скорости, называется угловым ускорением , которое определяется как вторая производная от угла поворота по времени или первая производная от угловой скорости

	d 2 ϕ
	dt 2 dt

ε=ϕ&&=ω& (рад/сек2 ) или (с-2 )

Если первая и вторая производная от угла ϕ по времени имеют одинаковый знак, то вращение ускоренное, если разный знак – то замедленное. Если угловая скорость постоянна, то вращение равномерное (при этом угловое ускорение ε =0).

2.2.2. Скорость и ускорение точки вращающегося тела

Скорость движения точки тела по окружности называется вращательной скоростью, и модуль ее зависит от расстояния от точки до оси вращения.

V = ω ОМ

Вектор скорости направлен перпендикулярно радиусу окружности, описываемой точкой, в сторону вращения (рис.2).

Ускорение точки вращающегося тела имеет две составляющие – центростремительное и вращательное ускорения.

Ацс = ω 2 ОМ авр = ε ОМ

Вектор a цс направлен от точки к оси вращения, вектор a вр направлен перпендикулярно радиусу в сторону ε .

Вектор полного ускорения a равен геометрической сумме a цс и a вр

a = a цс + a вр ,

а модуль полного ускорения определится по формуле

а = ОМ ω 4 +ε 2

2.2.3. Векторное выражение скорости, центростремительного и вращательного ускорений точек вращающегося тела

Принято считать, что угловая скорость и угловое ускорение – это векторы, направленные по оси вращения, причем вектор ω направлен по оси таким образом, чтобы с его конца вращение представлялось происходящим против хода часовой стрелки, вектор углового ускорения ε также направлен по оси в ту же сторону, что и ω при ускоренном вращении, либо в противоположную – при замедленном.

Вращательная скорость точки, центростремительное и вращательное ускорения могут быть представлены в виде векторных произведений (рис.3).

v =ω x r ,

a цс = ω x v = ω x ω x r

a вр = ε x r

Новосибирский Государственный Архитектурно-Строительный
Университет (Сибстрин)
ЛЕКЦИИ ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ.
КИНЕМАТИКА
ЛЕКЦИЯ 3.
ПЛОСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ТВЁРДОГО
ТЕЛА
Кафедра теоретической механики

План лекции

Введение.
Закон плоского движения.
Скорости точек тела.
Ускорения точек тела.
.
Заключение.

На прошлых лекциях

Мы уже изучили:
-Кинематику точки
-Поступательное движение твердого тела
-Вращательное движение твердого тела
Тема сегодняшней лекции:
Плоское движение твердого
тела
Q
O
Определение. Плоским
называется такое движение
P
твердого тела, при котором все x
его точки М(t) движутся в
плоскостях Q, параллельных
некоторой неподвижной
плоскости P.
M
A S
y

Цель лекции

Изучить плоское движение
твердого тела

Введение
Примеры:
-Вращательное движение (плоскость P –
перпендикулярна оси вращения)
-Движение самолета на крейсерском режиме
(плоскость P - перпендикулярна размаху крыльев)
-Движение колес автомобиля по прямой дороге
(плоскость P – вдоль кузова автомобиля)
-Движение плоских механизмов:
vB
vA
C
A
B
N
M
D
E

Введение
Q
O
P
M
A S
y
x
Утверждение. Все точки прямой AM,
перпендикулярной P, движутся одинаково.
Доказательство. Т.к. тело твердое, то АМ=const;
Т.к. P параллельно Q, то отрезок AM остается
перпендикулярным P . Значит его движение
поступательно. Следовательно все его точки
движутся одинаково.
Вывод: Задача сводится к изучению движения
сечения S в плоскости P.

y
Движение плоской фигуры S
относительно системы Oxy
полностью определится
A
yA
движением отрезка AB
O
xA (t), y A (t)
B
φ
xA
- определяют движение полюса A.
t - определяет вращение AB вокруг полюса A.
xA xA (t), y A y A (t), (t)
- закон плоского движения твердого тела
x

Закон плоского движения твердого тела
Интерпретация. Введем вспомо- Y y
гательную систему:
Ax1 y1; Ax1 параллельна Ox,
B
1
x1
A
Ay1 параллельна Oy;
O
В системе Ax1 y1 тело совершает враща
X
тельное движение. Система Ax1 y1 движется
относительно Oxy поступательно
Плоское движение – есть сумма поступательного
движения вместе с полюсом A и вращательного
движения относительно полюса A
x A (t), y A (t) задает поступательное движение
(t) задает вращательное движение

Интерпретация

1
а)
A
B
2
B"
1"
1
б)
φ
A"
1"
2
B
A
B"
φ
A"
Перевод сечения из положения 1 в положение 2 можно
рассматривать как суперпозицию двух движений:
поступательного из 1 в 1" и вращательного из 1" в 2
вокруг точки A".
В качестве полюса можно выбрать любую точку. На
рис. б) в качестве полюса выбрана точка В.
Внимание: Длина пути при поступательном перемещении изменилась, но угол поворота остался прежним!
Т.е. поступательная часть от выбора полюса зависит, а
вращательная часть – не зависит!

Закон движения и траектории точек тела

rM (t) rA (t) (t)
xM (t) x A (t) (t) cos((t))
y1
y
rM
yM (t) y A (t) (t) sin((t))
Пример (движение эллипсографа)
AB l , AM b;
y
O
rA
B
x1
x
Определить закон движения
и траекторию точки M
M
B
xM (t) (b l) cos (t)
A
A
M
ρ
O
x
yM (t) b sin (t) закон движения
xM2
yM2
2 1 эллипс
2
(b l)
b

Скорости точек тела

y1
rM (t) rA (t) (t)
y
rM
Дифференцируя, получим:
M
ρ
B
x1
A
v M v A v MA
x
r
O
v A скорость полюса
d
v MA
скорость вращения вокруг полюса
dt
(v MA скорость M в системе Ax1 y1).
A
vM
vMA AM
v MA
vA
A
M
vA

Следствия формулы для скоростей точек

Следствие 1. Проекции скоростей двух точек твердого
vB
тела на прямую, их соединяющую, равны.
Доказательство.
v B v A v BA
v B cos v A cos
Следствие 2. Если точки
A,B,C лежат на одной
прямой, то и концы
векторов v A , v B , v C
лежат на одной прямой,
причем ab/bc AB/BC
vA
A
vBA
β
α
α
B
vA

МЦС – это точка, скорость которой
A
равна нулю в данный момент времени.
C
Пример. Катящийся без проскальзыL
вания диск. МЦС-точка С.
Утверждение. Если угловая скорость не равна нулю
для данного t, то МЦС существует и единственен.
vA
Доказательство.
A
Т.к. 0 то A и B, v A v B .
C
Если v A и v B не параллельны: B A
v A v C v AC ; v B v C v BC
Если v C 0 то v A AC , v B BC
C найдено.
B
vB

Мгновенный центр скоростей (МЦС)

Если v A и vB параллельны:
A
B
C
в)
б)
a)
vA
A
vA
vB
C
vB
vA
A
B
vB
B
Если 0 то случай в) невозможен
(по теореме о проекциях)
Если 0 то для всех A, B: v A v B
и МЦС не существует

Свойства МЦС.
Пусть P- МЦС. Выбирая P за полюс, получим:
v A ω PA; v B ω PB;
v A PA; v B PB
vB
vA vB vC
Или:
...
AP BP CP
Причем v С PС
v B PB
A
P
vA
ω
B
Вывод. Если МЦС (точку P) взять за полюс, то
плоское движение для данного t представляет собой
чистое вращение вокруг точки P

МЦУ(пример)
Пример. Колесо катится без проскальзывания по
прямой дороге.
A
B
vA
C
vB
vC
D
ω
vD
P E
vA
A
B
vB
D
vD

Пример (расчет скоростей плоского механизма)
Дано: OA , r1 r2 r, BD CD l
Определить v A , v B , v D , BD ; CD
Решение.
A
O
OA: v A OA OA ;
AB: P1 - МЦС AB v B BP1 ;
vA
P1
vB
D
B
45º P
BD
vD
ω AB v A /AP1 v B /BP1 v B 2 2r OA
BD: PBD МЦСBD BD v B / BPBD v D / DPBD
BD 4r OA / l , v D 2 2r OA
CD: v D CD, CD v D / CD 2 2r OA / l
C

Ускорения точек тела.

Имеем равенство: v B v A ω ρ
Продифференцируем его:
d v B dv A dω d ρ
aB
ρ ω
dt
dt
dt
dt
z
aA ε ρ ω ω ρ
y
B
aBA n
aBA
vBA
A
O
z1
ω
aA
ɛ
x
n
aBA ; aBA vBA
n
aB a A aBA aBA
Ускорение точки B равно сумме ускорения полюса A и
ускорения вращения точки B вокруг полюса A

Следствие формулы для ускорений точек

c
a
aA
A
b
aB
B
aC
C x
Рис. 13.19
Следствие. Если точки
на одной прямой,
A,B,C
лежат
то и концы векторов aA , aB , aC
лежат на одной прямой, причем ab/bc AB/BC

Мгновенный центр ускорений (МЦУ)

МЦУ- это точка Q , ускорение которой в данный
момент времени t равно нулю.
Утверждение. Для непоступательного движения МЦУ
В
существует и единственен.
a
B
A
aA
Доказательство.
aA aQ a AQ ; Q МЦУ
2
aA a AQ ; tg / ;
aC
C
Q
a A AQ 2 4 AQ a A / 2 4
Распределение ускорений как при вращении вокруг Q.
aA / AQ aB / BQ aC / CQ
2
Замечание. МЦС и МЦУ- разные точки!
4

Кинематический расчет плоского механизма

Пример. Дано: OA , OA
Определить:
v A , v B , AB ,
BC , aA , aB , AB , AB
Схема решения.
1. Расчет скоростей.
OA: v A OA; v A OA;
AB: v B BC PAB МЦС AB ; ωAB v A /APAB v B /BPAB
BC: ωBC v B /BC

Кинематический расчет плоского механизма

2. Расчет ускорений.
OA: a An 2OA; a A OA;
n n
2
AB: aB a A aBA aBA ; aBA AB
AB; a BA AB AB;
n
2
BC: aB aB aB (*); aBn BC
BC ; a B BC BC
n n
n
aB aB a A a A aBA aBA (**)
В (**) две неизвестные: AB , BC . Проецируя (**) на
две оси, найдем их. Ускорение aB найдем из (*).

Еще один пример

OA 0 , OA l1; AB l2 ; BD l3 ; DE l4
Определить v E
Дано:

Заключение

Заключение
1. Выведен закон плоского движения.
2. Показано, что плоское движение представляется
суммой простейших движений – поступательного
вместе с полюсом и вращательного вокруг
полюса.
3. Выведены формула связи между скоростями
точек и ее следствия.
4. Определено понятие МЦС и показаны его
своцства.
5. Выведены формула связи между ускорениями
точек и ее следствия.
6. Рассмотрены примеры кинематического расчета
плоских механизмов.

Контрольные вопросы к лекции

1. Сколько степеней свободы имеет твёрдое тело,
совершающее плоское движение?
2. Запишите закон плоского движения твёрдого тела.
3. Как связаны между собой скорости двух точек твёрдого
тела, совершающего плоское движение?
4. Чему равна угловая скорость вращения твёрдого тела?
5. Сформулируйте теорему о проекциях скоростей двух
точек твёрдого тела при плоском движении.
6. Что называется мгновенным центром скоростей?
7. Что нужно знать, чтобы определить МЦС?
8. Из каких составляющих складывается ускорение точки
твёрдого тела, совершающего плоское движение?
9. Чему равно ускорение вращательного движения точки
вместе с телом вокруг полюса?